En este trabajo presentamos la implementación de un método de elementos finitos combinado con la aplicación Dirichlet-to-Neumann (DtN), obtenida en términos de series de Fourier, para estudiar la existencia de soluciones de un problema exterior que proviene de la teoría de elasticidad lineal incompresible bidimensional. Finalmente, se presenta un método numérico que demuestra la precisión de nuestra aplicación DtN, puesto que sólo se necesitan unos cuantos términos de la serie de Fourier para obtener una buena aproximación de la solución. Para la discretización del problema se emplea el elemento estable Taylor-Hood.
Introducción
En este trabajo se explica un procedimiento para estudiar la aproximación de Galerkin de un material incompresible en un dominio exterior no acotado Ω. El procedimiento emplea la aplicación Dirichlet-to-Neumann (DtN) (Han y Bao, 1997; Gatica, Gatica y Stephan, 2003; Kako y Touda, 2004), que consiste en introducir una frontera artificial dibujando en Ω un círculo ΓR en ℝ2 de radio R. Entonces Ω se divide en la parte acotada Ωi y la no acotada ΩR. Para resolver el problema en el dominio acotado Ωi se dan condiciones de frontera exactas y aproximadas sobre la frontera artificial ΓR (Figura 1).
Sea Ω ⊂ ℝ2 un dominio no acotado y simplemente conexo con frontera Lipschitz continua Γ. Teniendo en cuenta las condiciones de frontera tipo Dirichlet dadas sobre Γ se define el espacio HΓ1 = {v: Ω → ℝ ∶ v ∈ H1(Ω), v|Γ = 0}. Así, el problema de elasticidad lineal por resolver consiste en encontrar (u, p) ∈ [HΓ1(Ω)]2 × L2(Ω) tal que:
−2µ div ε(u) + grad p = f, in Ω,
div (u) = 0, in Ω, (1)
Aquí u: Ω → ℝ representa el desplazamiento y p es la presión del material en cada punto x ∶= (x1, x2)T ∈ Ω por el efecto de la fuerza externa f, µ > 0 es la constante de Lamé y ε(u) representa el tensor de esfuerzos de componentes εij(u), para í, j = 1, 2. De este material suponemos válida la relación tensiónesfuerzo para pequeñas deformaciones, tal como se discute en Necas (1986); véanse también Necas (1981) y Zeidler (1988). En este trabajo suponemos que la fuerza f tiene soporte compacto y que está contenida en la región Ωi.
Sean X = [HΓ1(Ω)]2 y M = L2(Ω) espacios dotados con las normas de L2(Ω) y H1(Ω), respectivamente. Entonces, siguiendo el procedimiento estándar de integración por partes, se llega a la siguiente formulación variacional del problema (1):
2μ∫Ωε(u): ε(v) dx − ∫Ωp div v dx = ∫Ωf ∙ vdx
∫Ωq div vdx = 0.
Nótese que este problema está definido en el dominio no acotado Ω y Ωi es el dominio computacional para nuestro método de elementos finitos, que se obtiene al introducir la frontera artificial ΓR. Entonces es necesario deducir la formulación variacional del problema (1) en Ωi; nuevamente mediante integración por partes, y teniendo en cuenta que para el tensor distorsión σ(u, p) ∶= 2µε(u) − pi, donde i es la matriz identidad de orden 2, se tiene que – div (σ(u, p)) = −2µ div ε(u) + grad p, y a partir de esto se obtiene la formulación débil:
2μ∫Ωi ε(u): ε(v) dx − ∫ΓR σ(u, p) ∙ v ∙η ds − ∫Ωip div v dx
= ∫Ωif ∙ v dx (2)
∫Ωiq div v dx = 0.
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